Myślę

Φ albo złoty podział, czyli piękno i harmonia opisane liczbami


Ciąg Fibonacciego to nie tylko teoretyczna matematyka

Ciąg Fibonacciego to nie tylko teoretyczna matematyka

Przed laty Darren Aronofsky w niezapomnianym „Pi” skazał swojego bohatera na obsesyjne poszukiwanie matematycznego opisu świata. Kto wie, być może filmowa historia geniuszu i szaleństwa wcale nie była tak abstrakcyjna, jak mogłoby się wydawać. Szukając uniwersalnego wzoru na piękno, warto bowiem pochylić się nad ciągiem Fibonacciego i związaną z nim złotą proporcją.

Królowa jest tylko jedna? Nie wierzcie uzurpatorkom!

Spór o koronę królowej nauk toczony od stuleci między filozofią a matematyką nie musi oznaczać, że zwycięzca jest tylko jeden. Nie bez powodu przed laty Stanisław Brzozowski, nawiasem mówiąc filozof, w swoich „Płomieniach” przekonywał:

“Wy nie wiecie, co to jest matematyka! Wy myślicie: liczby, liczby! Nie! A ona śpiewa, gra jak kryształ. Cała dusza tonie w dźwięcznym, przejrzystym krysztale”.

Czy miał rację? Aby znaleźć odpowiedź na to pytanie, musimy cofnąć się w czasie o kilka stuleci do roku, w którym powstało dzieło niezwykłe, choć współcześnie nieco zapomniane – „Liber abaci”.

Podróże Fibonacciego

Jego autor, Leonardo Pisano, był człowiekiem lotnego umysłu, bywał w świecie. Przez całe życie był jednak znany pod przydomkiem Fibonacci, oznaczającym, zresztą zgodnie z prawdą, syna Bonaccia oraz – co wytłumaczyć znacznie trudniej – głupca.

Fragment „Liberum abaci”

Fragment „Liberum abaci”

Syn Bonaccia głupcem z pewnością nie był. Chcąc pogłębić swoją wiedzę, zastosował się do starego przysłowia głoszącego, że podróże kształcą. Podczas swoich wojaży Fibonacci odwiedził m.in. Grecję, Egipt, Syrię i Prowansję. Owocny okazał się pobyt w algierskim mieście Bidżaja, przy którego bogatej przeszłości większość miast europejskich powinna co najmniej zarumienić się z zazdrości.

Fibonacci spotkał tam arabskich matematyków, dzięki którym poznał indyjski sposób zapisu liczb, a następnie stworzył swoje ponadczasowe dzieło. Dlaczego „Liber abaci” nie podzieliło losu wielu innych naukowych rozpraw tamtego okresu i zamiast pokryć się kurzem w skryptorium jakiegoś klasztoru, wstrząsnęło posadami średniowiecznej nauki?

„Liber abaci” albo matematyka dla opornych

Sekretem sukcesu było utylitarne podejście Fibonacciego – autor zawarł w swoim dziele nie tylko teoretyczną wiedzę, ale również liczne praktyczne przykłady jej zastosowania, jak wyliczenia marży, ustalanie odsetek, konwersja miar i wag czy obliczanie kursów walut.

Wizualizacja ciągu Finobacciego

Wizualizacja ciągu Finobacciego

Fibonacci sprawił, że matematyka, praktykowana do tej pory niczym wiedza tajemna przez kastę wtajemniczonych rachmistrzów, stała się dostępna i powszechnie (z zachowaniem realiów epoki!) zrozumiała. Fibonacci zawarł w „Liber abaci” coś jeszcze – obliczenia dotyczące liczebności stada królików, zapoczątkowanego przez parę zwierzaków rozmnażających się w miesięcznych odstępach i wydających na świat zawsze jedną parę, po miesiącu zdolną do rozmnażania.

Pary królików z kolejnych miesięcy utworzyły szereg liczb, w którym każdy kolejny element był sumą dwóch poprzednich. Nie byłoby w tym nic wartego uwagi, gdyby nie pewna właściwość tych liczb. Nie dość, że można dzięki nim narysować fraktal, to jeszcze gdy którąkolwiek z nich podzielimy przez liczbę ją poprzedzającą, otrzymamy wynik zbliżony do 1,618. Tę właśnie wartość nazywamy złotym podziałem lub złotą albo boską proporcją i od imienia Fidiasza oznaczamy grecką literą φ (fi), która znajduje się również w nazwie naszego blogu.

Złoty podział – wzór na opisanie świata?

Fibonacci, tworząc swój ciąg, być może nie przypuszczał, że jest on wyjątkowo lubiany przez naturę. Dostrzeżemy go w muszlach, kwiatach, zwierzęcych rogach, budowie galaktyk, brokułach czy choćby w proporcjach ciała harmonijnie rozwiniętego człowieka. Czyżby udało się znaleźć matematyczny opis wszechświata?

Tak sądził XIX-wieczny, niemiecki uczony, Adolf Zeising, według którego złoty podział był elementarnym prawem przyrody. Niestety, sprawa nie jest tak prosta. Doszukiwanie się ciągu Fibonacciego i złotego podziału w każdej spirali występującej w naturze jest o tyle fascynujące, co pozbawione sensu. No cóż, już przed laty Arystoteles stwierdził:

“Drogi mi Platon, drogi Sokrates, ale jeszcze droższa prawda”.

Choć bez trudu znajdziemy przykłady odnoszące się do złotej proporcji, to jeszcze łatwiej odszukać te, które nie mają z nią nic wspólnego, a wiele spośród przywoływanych obliczeń dotyczy tylko wybranych osobników lub jakiegoś etapu życia rośliny czy zwierzęcia. Fakty są nieubłagane: ciąg Fibonacciego, choć intrygujący, nie opisuje przyrody, a według współczesnego stanu wiedzy świat nie jest zbudowany na złotej proporcji, choć często zdarza się jej w nim występować.

Φ, czyli naturalne piękno

Złota proporcja wydaje się jednak naszemu gatunkowi wyjątkowo atrakcyjna, a dzieła stworzone z jej wykorzystaniem często uznawane są za piękniejsze i bardziej harmonijne od innych. Choć Fibonacci stworzył swój ciąg w XIII wieku, złota proporcja została opisana znacznie wcześniej przez Euklidesa i była stosowana – mniej lub bardziej świadomie – przez różnych twórców. XVI-wieczny astronom, Johannes Kepler, stwierdził:

“Geometria ma dwa wielkie skarby: jednym z nich jest twierdzenie Pitagorasa, a drugim podział odcinka w złoty sposób; pierwszy z nich możemy porównać do złota, a drugi do drogocennego klejnotu”.

Podobnie jak w przypadku świata przyrody doszukiwanie się złotej proporcji w każdym wybitnym dziele jest nadużyciem, spopularyzowanym m.in. przez Dana Browna w „Kodzie Leonarda da Vinci”. Z mitem powszechności złotego podziału rozprawiają się m.in. niektórzy matematycy, jak np. Keith Devlin ze Stanford University. Z drugiej strony złotą proporcję znajdziemy m.in. w konturze piramidy Cheopsa, człowieku witruwiańskim czy projektach Le Corbousiera.

Do złotego podziału, tym razem w pełni świadomie, nawiązują również współcześni twórcy. I nie dotyczy to wyłącznie grafiki czy architektury, ale również muzyki. Ciąg Fibonacciego wykorzystuje choćby zespół Tool, o czym możemy przekonać się na przykładzie utworu „Lateralus” z wydanego w 2001 roku albumu o tym samym tytule.

Złoty design

Złoty podział stał się również świętym graalem współczesnych grafików. Pytani przeze mnie o tę kwestię, potwierdzali, że – choć zdarzają się wyjątki od tej reguły – różne prace i projekty bazujące na złotej proporcji są częściej akceptowane przez klientów.

Jonathan Ive zbombardował złotą proporcją iPhone’a

Jonathan Ive zbombardował złotą proporcją iPhone’a

Co ciekawe, wydaje się, że złoty podział doceniają również największe firmy. Wygląda na to, że magii ciągu Fibonacciego nie oparł się nawet czołowy designer Apple’a, Jonathan Ive. Co więcej, choć nie zawsze zdajemy sobie z tego sprawę, złota proporcja stanowi podstawę identyfikacji najsłynniejszych marek świata.

Złota proporcja sekretem udanego logo?

Złota proporcja sekretem udanego logo?

Nawet jeśli niektórzy badacze, jak choćby Mario Livio, kwestionują jej skuteczność, to marketingowcy i tak wiedzą swoje. Pomóc – może nie pomoże, ale na pewno nie zaszkodzi, więc dlaczego ktokolwiek miałby z niej rezygnować? Otwarte pozostaje zatem pytanie, czy darzylibyśmy znane firmy taką samą sympatią, gdyby nie kojarzyły się z liczbą wyprowadzoną przed wiekami od pary rozmnażających się królików?

[FM_form id="2"]
Myślę
Przekaz podprogowy – prawda czy mit?
Myślę
Niemieckie autostrady – kiedy powstały, kto je budował?
Myślę
Cel – jak go osiągnąć?